En faisant appel à un compositeur, le réalisateur doit-il payer des droits d'auteur ?

Non, le réalisateur faisant appel à un compositeur ne paye pas de droits d'auteur. Cependant, il rémunère le compositeur pour la création d'une musique originale.
La somme demandé est très variable, selon la nature du projet et la notoriété du compositeur.

Comment le compositeur touche-t-il des droits d'auteur ?

Le compositeur perçoit des droits d'auteur chaque fois qu'une de ses oeuvres est diffusée (média, festivals, concerts...) et bien entendu, sur la vente de Cds et DVDs.

Comment cela se passe-t-il pour le réalisateur lorsque son film est sélectionné en festival ?

C'est l'organisateur de l'évènement qui verse des droits d'auteur à la SACEM (Société des Auteurs, Compositeurs et Editeurs de Musiques). Celle-ci est ensuite chargée de les redistribuer aux ayants droits.

Et dans le cas ou le réalisateur utilise de la musique pré-existante ?

L'utilisation d'une telle oeuvre nécessite en premier lieu l'accord des ayants droits (auteurs compositeurs, éditeurs). Puis une somme sera demandée au réalisateur ou au producteur du film.
Encore une fois, le montant est très variable selon les tarifs pratiqués par l'éditeur concerné et la notoriété de l'oeuvre sollicitée.